\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{~\mathop{\rm et }~} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{~\mathop{\rm ou }~} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }} \newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} M\'ethodo Exos7~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf ~Traduire}} \hfill 3/12/01 ~Deug MIASSM TC\\ % \vspace{0.9cm} \begin{center} {\Large {\bf Traduire sous contexte}} \end{center} \vspace{0.2cm} Dans le contexte donn\'e, formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants. % \vspace{-0.2cm} \begin{enumerate} \item {Contexte : $x$ et $y$ sont entiers.} \vspace{.1mm}\par\noindent $x$ est multiple de $3$; \hfill $\exists z\in \nn,\ 5z=x$;\hfill $x$ divise $34$;\\ $x$ est multiple de $y$; \hfill $\exists z \in \nn,\ x=2^z$;\\ $x$ est un cube; \hfill $x$ est somme de deux carr\'es; \hfill $\forall z \in \nn,\ (\exists p \in \nn,\ pz=x) \et (\exists q \in \nn, qz=y) \Rightarrow z=1$. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $x$ et $y$ sont r\'eels.} \vspace{.1mm}\par\noindent $x$ est rationnel; \hfill $\exists n \in \nn,\ n=x$; \hfill $x$ est d\'ecimal; \\ $x$ et $y$ ont m\^eme partie enti\`ere; \hfill $(x \geq 0 \et y \leq 0) \ou (x \leq 0 \et y \geq 0)$; \\ $y$ est entre $x$ et $x^2$;\hfill $\forall p \in \nn,\ \forall q \in \nn^*,\ x\neq p/q$. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $z$ et $z'$ sont complexes.} \vspace{.1mm}\par\noindent $z$ est imaginaire pur; \hfill $\exists n \in \nn,\ z^n=1$; \\ l'argument de $z$ est $\pi/12$; \hfill $z$ et $z'$ sont conjugu\'es;\\ $z$ est \'egal \`a $z'$ au signe pr\`es; \hfill $\exists t \in \rr^*,\ tz=z'$. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $P$ et $Q$ sont des parties de $\rr$.} \vspace{.1mm}\par\noindent $P$ est minor\'ee; \hfill $\forall x \in \rr,\ x \in P \Leftrightarrow x\geq 0$;\\ $P$ est un intervalle ouvert; \hfill $P$ est centr\'e en $0$; \\ $\forall x \in P,\ x \geq 0$. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $P$ et $Q$ sont des parties de $\cc$.} \vspace{.1mm}\par\noindent $P$ est la droite passant par $1$ et $i$; \hfill $\forall z \in \cc,\ z \in P \Leftrightarrow |z|=1$; \\ $P$ est un cercle;\hfill $\exists a \in \cc,\ \exists r\in \rr_+,\ z \in P \Rightarrow |z-a| = r$;\\ $P$ est un demi-plan; \hfill $P$ est contenu dans $\rr$;\\ $\exists r\in \cc,\ \forall z \in P,\ |z| \leq r$. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $I$ est un intervalle, $f$ et $g$ sont des fonctions sur $I$.} \vspace{.1mm}\par\noindent $f$ est positive; \hfill $\exists m \in \rr,\ \forall x \in I,\ f(x) \geq m$; \\ $f$ est constante; \hfill $\forall x\in I,\ f(x) \neq g(x)$;\\ $f$ est croissante; \hfill $f$ est major\'ee par $2$; \\ $f$ est born\'ee; \hfill $\forall x,\ x' \in I,\ f(x)=0 \et f(x')=0 \Rightarrow x=x'$;\\ $f$ et $g$ sont distinctes;\hfill $f$ majore $g$; \\ $f$ change de signe une et une seule fois sur $I$; \hfill $\forall x \in I,\ x+\pi \in I \et f(x+\pi)=f(x)$; \\ $f$ est monotone; \hfill $(\forall x\in I,\ f(x) > g(x)) \ou (\forall x\in I,\ f(x) < g(x)$; \\ $\exists x \in I,\ \forall y\in I,\ y \geq x \Rightarrow f(y) \geq 0$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\Large {\bf Traduire sans contexte}} \end {center} \vspace{0.2cm} Formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants. \vspace{0.2cm} \begin{enumerate} \item{Concernant les nombres entiers et rationnels}: \vspace{.1mm}\par\noindent Tout entier est somme de deux carr\'es; \\ Le produit de deux nombres rationnels est forc\'ement rationnel;\\ $\exists x \in \nn,\ \forall y\in \nn,\ y \geq x \Rightarrow \exists z \in \nn,\ y^3 \leq z^2 \leq (y+1)^3$; \\ $\forall n \in \nn^*,\ \exists a,\ b,\ c,\ d\in \nn^*,\ n=a^2+b^2+c^2+d^2$. \vspace{0.2cm} \item{Concernant les nombres r\'eels}: \vspace{.1mm}\par\noindent Le produit de deux r\'eels est nul si et seulement l'un des deux est nul; \\ Deux r\'eels positifs sont rang\'es dans le m\^eme ordre que leurs carr\'es;\\ L'addition des nombres r\'eels est commutative; \\ $\forall x,\ y \in \rr,\ x \geq y \ou y \geq x$;\\ $\forall x,\ y \in \rr,\ x \neq y \Rightarrow x > y \ou y < x$;\\ $\forall x,\ y \in \rr,\ x^2=y^2 \et xy \geq 0 \Rightarrow x=y$. \vspace{0.2cm} \item{Concernant les nombres complexes}: \vspace{.1mm}\par\noindent L'oppos\'e d'un nombre complexe imaginaire pur est son conjugu\'e; \\ Le produit des conjugu\'es est le conjugu\'e des produits;\\ Deux nombres complexes sont \'egaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments le sont;\\ $\forall z \in \cc^*,\ \overline{\frac 1z}=\frac1{\overline z}$; \\ $\forall z \in \cc^*,\ \exists r,\ r'\in \cc,\ r \neq r' \et r^2=z \et {r'}^2=z$;\\ $\forall z \in \cc^*,\ \forall \theta \in \rr,\ \Arg z=\theta \Rightarrow \Arg z^{-1} =-\theta$;\\ $\forall z,\ z' \in \cc,\ z^2={z'}^2 \Rightarrow z=z' \ou z=-z'$;\\ Il y a exactement $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e distinctes, et ce pour tout $n$. \vspace{0.2cm} \vspace{0.2cm} \item{Petit rab}: \vspace{.1mm}\par\noindent Tout polyn\^ome de coefficient dominant positif tend vers l'infini \`a l'infini;\\ Un trin\^ome du second degr\'e qui s'annule en trois points est identiquement nul;\\ Un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues de discriminant non-nul admet une unique solution; \\ Deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues peuvent n'avoir aucune solution commune. \end{enumerate} \end{document} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: