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\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}
 M\'ethodo Exos3~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      R\'ediger, formaliser }}  \hfill 15/10/01 ~Deug MIASSM TC\\ %
		     
		     \vspace{0.3cm}
%Pour mettre le prof au parfum
                      \vspace{0.3cm}

                                                
\begin{enumerate}

\item {\Large {\bf R\'ediger}}

Traduire informellement et \'evaluer les \'enonc\'es suivants; pour chaque
\'enonc\'e faux, proposer une variante juste.

 $\forall x,y \in {\bf R},\, x\leq y \Longrightarrow x^2 \leq y^2;$
\hfill $\forall x,y \in [0, +\infty[,\, x^3 < y^3 \ssi x < y;$\\
 $\forall x,y \in {\bf R},\, max(x, y)=min(x,y) \Longrightarrow x=y;$
\hfill
$\forall x, y \in  {\bf R},\, max(x,y)=x \ou max(x,y)=y;$\\
$\forall x,y,a \in {\bf R},\, x <y \Longrightarrow x+a <y+a;$ \hfill
 $\forall x, y , a, b \in  {\bf R},\, x<y \et a \leq b \imp x+a < y+b;$\\
 $\forall x,y \in \rr, \forall a \in [0, +\infty[,\, 
 x \leq y \Longrightarrow ax \leq ay;$ \hfill
 $\forall x, y , a, b \in  [0, +\infty[,\, x<y \et a \leq b \imp ax < by;$\\
$\forall x \in {\bf R},\,\exists n \in {\bf N},\, 
n \leq x \leq n+1;$\hfill
$\forall z \in \cc,\,\exists r \in \cc,\, 
r^3=z;$ \\
$\exists z, t\in \cc,\, 
|z+t| \neq |z| +|t|$;\hfill
$\forall x,y \in \rr,\, e^{x+y}=e^xe^y.$\\
		     
		     \vspace{0.6cm}

\item
 {\Large {\bf Formaliser}}

Proposer une interpr\'etation formelle pour les
 \'enonc\'es suivants:

\begin{enumerate}
\item
Tout nombre complexe non nul poss\`ede deux racines carr\'ees oppos\'ees.
\item
Deux nombres positifs sont toujours rang\'es dans le m\^eme ordre que leurs
logarithmes.
\item
L'inverse d'un produit est le produit des inverses.
\item
Si le produit de deux nombres est nul, c'est que l'un des deux est d\'ej\`a
nul.
\item
La puissance d'une somme n'est pas forc\'ement \'egale \`a la somme des
puissances.
\item
 Un nombre complexe non nul est d\'etermin\'e par son module et son argument.
\item
 Un nombre complexe non nul n'est d\'etermin\'e ni par son module ni par
 son argument.
\item
 Tout entier est somme de quatre carr\'es.
\item
Entre deux cubes cons\'ecutifs, il y a un
carr\'e.
\item
L'addition des complexes est commutative.
\item
La multiplication des entiers est associative.

\end{enumerate}

\vspace{0.6cm}

\item {\Large {\bf Plus difficile}}

\begin{enumerate}
\item
Tout nombre positif a une unique racine carr\'ee positive.
\item
Tout nombre positif a une unique racine cubique, qui est positive.
\item
Deux nombres complexes sont \'egaux d\`es que leurs carr\'es
et leurs cubes le sont.
\item
 Un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires 
\`a deux inconnues peut avoir deux solutions.
\item
 Tout entier suffisamment grand est de la forme $8p+9q$.\\
\end {enumerate}
\item {\Large{\bf Retour sur validit\'e}}


Expliquer deux conventions diff\'erentes pour la validit\'e de $A \imp B$, avec 
leurs
avantages et inconv\'enients.
\end {enumerate}
\end{document}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}