\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{\mathop{\rm et }} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }} \newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }} \newcommand{\cotan}{\mathop{\rm cotan }} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} Methodo Exos1:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf ~Calculer}} \hfill 30/09/02 ~Deug MIASSM TC\\ % \vspace{0.6cm} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item{\Large {\bf L'ensemble $\rr_\perp$ et les nouvelles fonctions}} \vspace{0.2cm} a) On pose $~\rr_\perp:= \rr \amalg \{\perp\}$ et on appelle bottom l'\'el\'ement $\perp$. On note $\ln _\perp$ (dans cet exercice, et $\ln$ dans les suivants) l'application de $\rr_\perp$ dans $\rr_\perp$ qui vaut $\ln \,x$ pour $x \in ]0,\, + \infty[$ et $\perp$ ailleurs.\\ Faire un tableau pour visualiser. Donner les d\'efinitions et tableaux analogues pour les fonctions usuelles $\sin, \cos, \tan, \cotan, \exp, \sqrt {~~}$. b) On note $+ _\perp$ (dans cet exercice, et $+$ dans les suivants) l'application de $\rr_\perp^2$ dans $\rr_\perp$ qui vaut $x+y$ pour $x,y\neq \perp$ et $\perp$ ailleurs. Faire un tableau \`a double entr\'ee pour visualiser.\\ Donner les d\'efinitions et tableaux analogues pour les autres op\'erations: $-, \times , /$. c) M\^eme question pour $(x,y) \mapsto x^y$. d) A-t-on pour tout $x$ dans $\rr_\perp$: $\ln_\perp (1/_\perp x)==-_\perp \ln_\perp x$? Faire un tableau.\\ A-t-on pour tout $x$ et tout $y$ dans $\rr_\perp$: $\ln_\perp (x\times_\perp y)=\ln_\perp x +_\perp \ln_\perp y $? Faire un tableau. e) On dit que $x$ est strictement mieux d\'efini que $y$ lorsque $y=\perp$ et $x\neq\perp$ (notation: $x \succ y$); et on dit que $x$ est mieux d\'efini que $y$ si $x=y$ ou $x \succ y$ (notation: $x \succeq y$).\\ Proposer une ou deux autres formulations de cette d\'efinition. \\ A-t-on pour tout $x$ et tout $y$ dans $\rr_\perp$: $\ln_\perp (x\times_\perp y) \succeq \ln_\perp x +_\perp \ln_\perp y $? f) Faire le travail analogue pour $\sqrt{~~}$ et les ressources correspondantes concernant le produit et l'inverse. g) M\^eme question pour la formule $\cotan x =\dfrac{1}{\tan x}$. \vspace{0.3cm} \item {\Large {\bf Valider}} %\hfill (en donnant une justification d\'etaill\'ee) \vspace{0.3cm} a) On dit qu'un \'el\'ement de $\rr_\perp$ est mal d\'efini (ou ind\'efini) s'il est \'egal \`a $\perp$ et bien d\'efini sinon. Parmi les \'el\'ements suivants, lesquels sont-ils bien d\'efinis? \vspace{-0.3cm} $$\dfrac { \cos \pi + \cos (-\pi) }{\cos \pi - \cos (-\pi)}, ~~~\dfrac {1}{1-\ln 1}, ~~~\dfrac {1}{1-\ln^4 e}, ~~~\dfrac {1-2\sin \dfrac {\pi}{6}}{1-e^0}, ~~~\tg \dfrac {3\pi}{2}\sin (-\pi), ~~~(\cos ^2 \pi-3 \ln e+2)^{-3}.$$ b) Ici $x$ vaut $1$ ou $-1$. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression suivante est-elle bien d\'efinie? \vspace{-0.7cm} $$x^0, ~~~~(\ln x)^{\sin \pi}, ~~~~(\cos x\pi)^{-2x}, ~~~~(\cos \pi)^{\dfrac{x}{2}}, %~~(\sin 4x)^{\sqrt 189},~~(\sin 5)^{\sqrt {289x}}, ~~~~(x\sqrt{3})^{\sqrt{3}}, ~~~~\ln(xe-\sqrt {8}).$$ \vspace{0.3cm} c) On appelle domaine de d\'efinition de la fonction $f: \rr_\perp \rightarrow \rr_\perp$ l'ensemble des $x$ de $\rr_\perp$ o\`u $f(x)$ est bien d\'efini. Calculer le domaine de d\'efinition de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \dfrac{x-1}{x-2} -\ln (x+1)$. Calculer le domaine de d\'efinition des fonctions suivantes, en indiquant les ressources utilis\'ees: $$ x \mapsto (1-\sqrt {x^2})^{-3}, ~~x \mapsto \ln (12x^4 -x^2) .$$ \vspace{0.3cm} \newpage \item {\Large {\bf Calculer}} \vspace{0.3cm} a) Calculer les expressions suivantes dans $\rr_\perp$ en indiquant les ressources utilis\'ees: $\displaystyle ~~~\binom{8}{4} , ~~~~ \Sigma _{i=1}^{i=9}i ,~~~~ 11!/9!, ~~~~ 7+8+...+100, ~~~~ 3+3^2+...+3^9, ~~~~ (1+\sqrt {\ln \ln 2})^3,$ $$(1+\sqrt 2)^3, ~~(2+\sqrt 3)^{-2}, ~ ~ \ln (8!), ~~~ ~ \ln \ln \ln(2!), \lim_{x \rightarrow +\infty}\, x^{\cos 3}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, \dfrac {1,01^{n}}{n^{10000}}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, (-1)^{n} .$$ %\vspace{0.1cm} b) Pour $x$ r\'eel, arranger les expressions suivantes en indiquant les ressources utilis\'ees: \vspace{-0.2cm} $$(\sin x + \cos x)^2, ~~~\cos (x+\dfrac{\pi}{6}), ~~~(1+\sqrt x)^3.$$ \vspace{0.2cm} c) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$. \vspace{1.7cm} \item \hfill{\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}} \vspace{0.3cm} a) a) Est-ce que la (nouvelle) fonction $\tan$ est p\'eriodique? b) Comparer deux choix possibles en mati\`ere de convention concernant la multiplication, avec leurs avantages et inconv\'enients. c) M\^eme question pour l'exponentiation. d) Calculer $\sin \dfrac {\pi}{12}$. Calculer la racine positive de $x^2 -3x =1$. Expliquer ce que veut dire calculer. e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$. \end{enumerate} \end{document} e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$. \item {\Large {\bf Domaine de d\'efinition}} On appelle domaine de d\'efinition de la fonction $f: \rr_\perp \rightarrow \rr_\perp$ l'ensemble des $x$ de $\rr_\perp$ v\'erifiant $f(x) \neq \perp$. Calculer le domaine de d\'efinition de $f$ d\'efinie par $f(x)= \dfrac{x-1}{x-2} -\ln (x+1)$. \vspace{0.3cm} \item {\Large {\bf Calculer}} \hfill (en donnant une justification pour chaque \'etape de calcul) \vspace{0.3cm} a) Calculer $\displaystyle ~~~\binom{8}{4} , ~~~~ \Sigma _{i=1}^{i=9}i ,~~~~ 11!/9!, ~~~~ 7+8+...+100, ~~~~ 3+3^2+...+3^9. $ \vspace{0.3cm} b) Calculer \vspace{-0.7cm} $$(1+\sqrt 2)^3, ~~(2+\sqrt 3)^{-2}, ~ ~ \ln (8!), ~~ \dfrac{3}{2}\ln 54 + \dfrac{1}{2}\ln 60, ~~ 2^{\ln 3}3^{\ln 2}, ~~ \lim_{x \rightarrow +\infty}\, x^{\cos 3}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, \dfrac {1,01^{n}}{n^{10000}} .$$ %\vspace{0.1cm} c) Calculer $\sin \dfrac {\pi}{12}$. Calculer la racine positive de $x^2 -3x =1$. \vspace{0.3cm} d) Formuler les hypoth\`eses raisonnables sur $x$ et calculer \vspace{-0.2cm} $$(\sin x + \cos x)^2, ~~~\cos (x+\dfrac{\pi}{6}), ~~~(1+\sqrt x)^3, ~~~(1-\sqrt {x^2})^{-3}, ~~~\ln (12x^4 -x^2) .$$ %\vspace{0.3cm} e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$. \end{enumerate} \end{document} \vspace{0.6cm} \item {\Large {\bf Convertir}} \hfill (en donnant toutes les \'etapes du calcul) \vspace{0.3cm} a) Convertir $2728$ en base $3$. Calculer $20121_3$. \vspace{0.1cm} b) Calculer le d\'eveloppement d\'ecimal de $\dfrac {127}{13}$. Calculer la fraction irr\'eductible de d\'eveloppement d\'ecimal $2,01 \overline {21}\dots\,$~. \vspace{0.2cm} c) Calculer $2^7.5^5.7^2~.$ Calculer la d\'ecomposition en facteurs premiers de $144000$. \vspace{0.2cm} d) Convertir $\dfrac{\pi}{81}$ en degr\'es, minutes, secondes. Diviser 7h 52mn 24s par 9. \vspace{0.6cm} \item {\Large {\bf R\'efl\'echir}} \vspace{0.3cm} Que veulent dire valider, calculer, convertir? \end{enumerate} \end{document} \item {\Large {\bf Comparer}} $\sqrt {1+\sqrt {1+\sqrt 2}} ~\et~ \dfrac {1+\sqrt 2}{2}; ~~~~\pi ~\et~ \dfrac{22}{7}; ~~~~ \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi^3}{648} ~\et ~1; ~~~~e ~\et~ \dfrac{5040}{1854}.$