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\begin{document}
   

 M\'ethodo Exos3~~~ \hfill 15/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
		     
 
		     \vspace{1cm}

\
 \begin{center}
 {\Huge {\bf 
                      Etendre \`a l'infini}}  

\end {center}		      

		     \vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item {\Large {\bf $\overline \nn$}}

		     \vspace{0.2cm}


a) Etendre autant que possible $<$, $\le$ et les ressources correspondantes \`a
$\overline \nn  := \nn \amalg \{\infty\}$.

b) M\^eme question pour $+$, $\times$, $exp$.

c) Formuler les principales propri\'et\'es de l'application cardinal: $Ens \rar
\overline \nn$.

		     \vspace{1cm}


\item {\Large {\bf $\overline \rr$}}

		     \vspace{0.2cm}


a) Etendre autant que possible $<$, $\le$ et les ressources correspondantes \`a
$\overline \rr  := \rr \amalg \{-\infty, \, +\infty\}$.

b) M\^eme question pour $+$, $-$, $\times$, $/$.

c) Formuler les principales propri\'et\'es de l'application lim': $(\nn \rar
\rr_\bot ) \rar
\overline \rr_\bot$.

d) Expliquer en quel sens il n'y a pas de prolongement de la fonction
tangente en une fonction continue de $\rr$ dans $\overline \rr$.

		     \vspace{1cm}


\item {\Large {\bf $\hat \rr$}}

		     \vspace{0.2cm}


a) Discuter l'extension de $x \mapsto  \dfrac {x-1}{x+1}$ en une bijection de
$\overline \rr $ sui lui-m\^eme. M\^eme chose avec 
$\hat \rr  := \rr \amalg \{\infty\}$.

b) Etendre autant que possible $+$, $-$, $\times$, $/$ \`a $\hat \rr$.

c) Formuler les principales propri\'et\'es de l'application lim": $(\nn \rar
\rr_\bot ) \rar
\hat \rr_\bot$.

d) Formuler les principales propri\'et\'es de l'ensemble $Homog$ des fonctions
de $\hat \rr$ dans $\hat \rr$ de la forme $x \mapsto \dfrac {ax+b}{cx+d}$, avec
$a,b,c,d$ r\'eels et $ad \neq bc$.

e) Expliquer en quel sens il y a un prolongement de la fonction
tangente en une fonction continue de $\rr$ dans $\hat \rr$.



\end{enumerate}

\end{document}

----

i) Enoncer correctement la r\'eponse.

ii) R\'ediger une preuve  qui explicite tous les ingr\'edients.
 
 \item{\bf R\'ecurrence:} 
 Dire (sans langue de bois) ce qu'est une fonction ind\'efiniment d\'erivable.
 D\'emontrer que si $P$ est un polyn\^ome, la fonction $P(x)e^{-x^2}$ est
 ind\'efiniment d\'erivable et tend vers z\'ero ainsi que toutes ses
 d\'eriv\'ees lorsque $x$ tend vers l'infini; on formulera avec le plus grand
 soin les \'eventuelles hypoth\`eses de r\'ecurrence.