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\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
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\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
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\newcommand{\qq}{{\bf Q}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\def\ds{\displaystyle}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.6cm}{1.5cm}{0.6cm}{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
\begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM 1 TC maths
                    07/02/01  dur\'ee: 2h \\} }%\vspace{0.6cm}

        
     Calculettes et documents interdits.
                
                                    \end{center} 
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
  \item (sur 2)%1

R\'esoudre dans $\rr$: ~~~~~~~~
$\sqrt {2+x} \ge \sqrt{8-x} -2 $.

 \vspace{1cm}

 
\item (sur 2)%2

Mettre le trin\^ome $~~~z^2+(i-5)z+6+2i~~$ sous forme canonique puis r\'esoudre 
dans $\cc$: $~~~z^2+(i-5)z+6+2i=0$ .
 \vspace{1cm}

 \item (sur 1.5)%3
 
 Calculer $\Arcsin (\sin 10)$.
 
 \item (sur 3)%4
 
 Calculer le DL en $0$ \`a l'ordre $3$ de $\sin (e^x)$.
 
 \item (sur 3)%5
 
 Trouver deux \'equations d\'efinissant la droite passant par 
 $(m+3, 2, 1)$ et $(2, 1,m-1)$.
 
 \item (sur 3)
 
 %6
 Calculer la matrice, le noyau, l'image et s'il y a lieu l'inverse de l'application
lin\'eaire 

$$(x,y,z) \mapsto (2x-2y+z, ~3x+y+2z, ~x+3y+z).$$
 
 \item (sur 3)
 %7
Calculer

 $$\ds\int_0^{1} \ds\frac{s+1}{\sqrt{4-s^2}}\, ds\qquad
 \mbox{\rm ( on peut poser $s=2~\sin t$)}.$$
 	


\item  (sur 3)%8

Compl\'eter la preuve suivante:
	
	
	Th\'eor\`eme: Le produit de deux fonctions continues en un point est 
	aussi
	continu en ce point.
	
	Preuve. Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I$,
	et continues en un point $a$ de $I$ et soit  $n \mapsto u_n$ 
	une suite de nombres de $I$ tendant vers $a$. Nous devons montrer que
	la suite $n\mapsto ~~~~~~~~~~~~~~~~~$ converge vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	Cette suite est \'egale au produit de la
	suite $~~~~~~~~~~~~~~~~$ et de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ qui, d'apr\`es
	l'hypoth\`ese, convergent vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	En appliquant le th\'eor\`eme sur la limite ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,
	 on obtient que notre suite converge vers $~~~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~$. Il
	ne reste qu'\`a observer que ce nombre est bien \'egal \`a $~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~~~~~$.
	
\end{enumerate}
\end{document}

	
	Th\'eor\`eme: La somme de deux fonctions continues en un point est aussi
	continue en ce point.
	
	Preuve. Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I$,
	et continues en un point $a$ de $I$ et soit  $n \mapsto u_n$ 
	une suite de nombres de $I$ tendant vers $a$. Nous devons montrer que
	la suite $n\mapsto ~~~~~~~~~~~~~~~~~$ converge vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	Cette suite est \'egale \`a 
	la somme de la
	suite $~~~~~~~~~~~~~~~~$ et de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ qui, d'apr\`es
	l'hypoth\`ese, convergent vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	En appliquant le th\'eor\`eme sur la limite d'une
	somme de suites, on obtient que notre suite converge vers $~~~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~$. Il
	ne reste qu'\`a observer que ce nombre est bien \'egal \`a $~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~~~~~$.