\documentclass[12pt,a4paper,french]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \usepackage{babel} \usepackage{tabularx} \usepackage[dvips]{graphics} \setlength{\topmargin}{-3cm} \setlength{\textheight}{27cm} \setlength{\textwidth}{18.5cm} \setlength{\oddsidemargin}{-1.5cm} \setlength{\evensidemargin}{-3cm} \begin{document} \begin{Large} \noindent {\bf Corrig\'e du partiel de maths du 24/11/2001 \hfill Sujet A} \end{Large} \vspace{.5cm} \noindent {\bf Exo 1. Dessiner l'ensemble des nombres complexes $z$ v\'erifiant} Re$((1-i)z)<2$ {\bf et $\mid iz + 3 \mid \leq 3$ en pr\'ecisant par les moyens de votre choix ce qui se passe ``au bord''.} \vspace{.2 cm} \noindent On note ${\cal S}=\{z \in {\mathbb C} \, ;$ Re$((1-i)z)<2$ et $\mid iz + 3 \mid \leq 3 \}$, ${\cal S}_1=\{z \in {\mathbb C} \, ;$ Re($(1-i)z)<2 \}$ et ${\cal S}_2=\{z \in {\mathbb C} \, ; \, \mid iz + 3 \mid \leq 3 \}$. On a ${\cal S}={\cal S}_1 \cap {\cal S}_2$. \noindent Soit $z \in {\mathbb C}$, avec $x=$Re($z)$ et $y=$Im($z)$. On a donc $z=x+iy$. \noindent Alors $\mid iz + 3 \mid \leq 3 \Longleftrightarrow \mid z - 3i \mid \leq 3$ et donc ${\cal S}_1$ est le disque ferm\'e de centre $3i$ et de rayon $3$, \noindent D'autre part Re($(1-i)z)<2 \Longleftrightarrow$ Re($(1-i)(x+iy))<2 \Longleftrightarrow $ Re($x-ix+iy+y)<2 \Longleftrightarrow x+y<2$, \vspace{.2 cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\raggedright}m{5cm}@{ }>{\raggedright}m{12.5cm}@{}} \includegraphics{24_11a.ps} & et donc ${\cal S}_2$ est le demi-plan ouvert sous la droite d'\'equation $x+y=2.$ \vspace{.5cm} L'intersection ${\cal S}={\cal S}_1 \cap {\cal S}_2$ est la partie hachur\'ee du dessin ci-contre. Au bord, les points du cercle sont dans ${\cal S}$ mais pas les points de la droite (ni les deux points d'intersection du cercle et de la droite). \\ \end{tabularx} \vspace{.5cm} \noindent {\bf Exo 2. Montrer que la fonction $f$ d\'efinie sur ${\mathbb R}$ par } $f(x)=x$E$(x)$ {\bf (o\`u } E$(x)$ {\bf est l'entier caract\'eris\'e par} E$(x) \leq x < $E$(x)+1$) {\bf est discontinue.} \vspace{.2 cm} \noindent Pour $0 \leq x < 1$, on a E$(x)=0$ donc $f(x)=0$. \noindent Pour $1 \leq x < 2$, on a E$(x)=1$ donc $f(x)=x$. \noindent On peut tracer le graphe de la fonction $f$ sur $[0,2[$ et constater qu'elle semble discontinue en 1. \noindent On a: $f$ discontinue en 1 ssi $ \exists u \in {\mathbb R}^{\mathbb N}, u \to 1$ et $f(u) \not\to f(1)$. \vspace{.2 cm} \noindent Exhibons la suite r\'eelle $u$ d\'efinie par $u_n=1-\dfrac{1}{2^n}$. \vspace{.2 cm} \noindent On a bien $u \to 1$ et on constate que $f(u_n)$ est nul pour tout $n$, donc $f(u) \to 0 \neq f(1)=1$. \vspace{.5cm} \noindent {\bf Exo 3. Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]1,+\infty[$ par $f(x)=mx^3+x+m$ admet-elle une fonction r\'eciproque ? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction r\'eciproque est-elle d\'erivable ? Pour $1 < m < 2$, calculer au choix, sa d\'eriv\'ee en 5 ou en $9m+2$. Expliquer votre choix.} \vspace{.2 cm} \noindent Pour que la fonction $f$, qui est d\'erivable, admette une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$, il faut et il suffit qu'elle soit strictement monotone. Etudions donc sur $]1,+\infty[$ le signe de $f^{\prime}(x)=3mx^2+1$. On distingue deux cas. \noindent $\bullet \underline{1^{er} cas \, : \, m \geq 0.}$ On a $\forall x \in {\mathbb R}, \, 3mx^2+1 > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]1,+\infty[$ et donc admet une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$. \noindent $\bullet \underline{2^{nd} cas \, : \, m < 0.}$ Alors $f^{\prime}(x)=3mx^2+1$ est un polyn\^ome du second degr\'e en $x$ qui admet deux racines \vspace{.2cm} \noindent r\'eelles distinctes $~~x_1 =-\dfrac{1}{\sqrt{-3m}}~~$ et $~~x_2=\dfrac{1}{\sqrt{-3m}}~~$. On distingue alors deux sous-cas. \vspace{.1cm} $\diamond \underline{1^{er} sous-cas} \, : \, x_2 \leq 1 $ autrement dit $ m \leq -\dfrac{1}{3}:$ \vspace{.1cm} $$\begin{tabular}{|c|lcccccccr|} \hline $x$ & $-\infty$ & & $x_1$ & & $x_2$ & & 1 & & $+\infty$ \\ \hline $f^{\prime}(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & & - & \\ \hline & & & & & & & $2m+1$ & & \\ $f(x)$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & & $\searrow$ & \\ & & & & & & & & & $-\infty$ \\ \hline \end{tabular}$$ \vspace{.6cm} \noindent $f$ est strictement d\'ecroissante, et admet donc une r\'eciproque. \newpage $\diamond \underline{2^{nd} sous-cas} \, : x_2 > 1 $ c'est-\`a-dire $m > -\dfrac{1}{3}:$ \vspace{.1cm} $$\begin{tabular}{|c|lcccccccr|} \hline $x$ & $-\infty$ & & $x_1$ & & 1 & & $x_2$ & & $+\infty$ \\ \hline $f^{\prime}(x)$ & & - & 0 & + & & + & 0 & - & \\ \hline & & & & & & & $f(x_2)$ & & \\ $f(x)$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\ & & & & & $2m+1$ & & & & $-\infty$ \\ \hline \end{tabular}$$ \vspace{.6cm} \noindent Alors $f$ n'est m\^eme pas monotone, donc n'admet pas de r\'eciproque. \vspace{.3cm} \noindent On a donc montr\'e que $f$ admet une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$ si et seulement si $m \geq 0$ ou $ m \leq -\frac{1}{3}$. \vspace{.3cm} \noindent On sait que $f^{-1}$ est d\'erivable \`a condition que l'on ait : $\forall x \in ]1,+\infty[, \, f^{\prime}(x) \neq 0$, ce qui est bien le cas quand $m \geq 0$ et quand $ m \leq -\frac{1}{3}$. \vspace{.1cm} \noindent Reste \`a calculer pour $1 < m < 2$, $(f^{-1})^{\prime}(5)$ ou $(f^{-1})^{\prime}(9m+2)$. Remarquons que si $1 < m < 2$, alors $f$ admet bien une r\'eciproque. Ensuite, il faut r\'esoudre une des deux \'equations d'inconnue $x$ : $f(x)=5 \, (*)$ ou $f(x)=9m+2 \, (**)$. L'\'equation $(**)$ a pour solution \'evidente $x=2$. On calcule alors $f^{\prime}(2)=12m+1$ d'o\`u $(f^{-1})^{\prime}(9m+2)=\dfrac{1}{12m+1}$. Tandis qu'on ne sait pas r\'esoudre $(*)$. \vspace{.5cm} \noindent {\bf Exo 4. Etudier la branche infinie (avec la position par rapport \`a l'asymptote \'eventuelle) du graphe de la fonction $f$ d\'efinie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\pi -x -2\sqrt{x^2+3x+5}$}. \vspace{.2 cm} \noindent On a $\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$. \noindent Tout d'abord, on calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$. \noindent Comme $x$ est positif, on a $~~~~\dfrac{f(x)}{x}=-1-2\sqrt{1+\frac{3}{x}+ \frac{5}{x^2}} + \dfrac{\pi}{x}~~~~$ d'o\`u $~~~~\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -3$. \vspace{.2 cm} \noindent Ensuite, on calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-(-3x))= \lim_{x \to +\infty} (f(x)+3x) =\lim_{x \to +\infty} (\pi+2(x-\sqrt{x^2+3x+5}))$. \vspace{.2 cm} \noindent En faisant appara\^{\i}tre la quantit\'e conjugu\'ee, puis en simplifiant par $x$ (qui est ici \'egal \`a $\sqrt {x^2}$), on obtient $$x-\sqrt{x^2+3x+5}=\dfrac{x^2 -(x^2+3x+5)}{x+\sqrt{x^2+3x+5}} =\dfrac{-3-\frac{5}{x}}{1+\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}.$$ \noindent On en d\'eduit $$\lim_{x \to +\infty} (x-\sqrt{x^2+3x+5}) =-\dfrac{3}{2}$$ et $$\lim_{x \to +\infty} (f(x)+3x)=\pi + 2(-\dfrac{3}{2}) =\pi-3.$$ \noindent Donc la droite d'\'equation $y=-3x+\pi-3$ est asymptote \`a $f$ en $+\infty$. \vspace{.5 cm} \noindent Pour \'etudier la position par rapport \`a l'asymptote, il faut \'etudier, pour $x$ grand, le signe de $$f(x)-(-3x+\pi-3)=f(x)+3x-\pi+3=2x+3-2\sqrt{x^2+3x+5},$$ \vspace{.2cm} \noindent autrement dit il faut comparer les deux nombres positifs $~2x+3~$ et $~2\sqrt{x^2+3x+5}~$. \\ En \'elevant au carr\'e, puis en simplifiant, on obtient: $$2x+3 < 2\sqrt{x^2+3x+5} ~~\Longleftrightarrow ~~(2x+3)^2 < 4(x^2+3x+5) ~~\Longleftrightarrow ~~9 < 20.$$ \noindent On en conclut $f(x)+3x-\pi+3 < 0$ en $+\infty$,\\ c'est-\`a-dire que la courbe repr\'esentative de $f$ se trouve en-dessous de son asymptote. \end{document}