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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}
 Maths Exos9~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Applications lin\'eaires }}  \hfill 6/01/03 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}

\begin{enumerate}
\item {\Large {\bf Reconna\^{\i}tre une application lin\'eaire}}

		     \vspace{0.4cm}


Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'application suivante est-elle lin\'eaire:
$$(x,y,z) \mapsto (m^4y-(m^3-m)z+m^2+3m+2, (m^2+m)x^2+2x).$$

		     \vspace{0.6cm}



\item {\Large {\bf Dessiner et exploiter une matrice}}

		     \vspace{0.4cm}


 a) Pour l'application suivante, 
pr\'eciser le contexte, la source et le but et  \'ecrire la matrice:


$$(x,y) \longmapsto (yw+xu, xv-yu, wy).$$

 b) Pour la matrice suivante, 
pr\'eciser le contexte et \'ecrire l'application
correspondante:

$$\left [
\begin {array} {cccc}
 2~~&-3&a&a^2\\
 0~~&5+b&a+b&a-b\\
\end{array}
\right ].
$$



		     \vspace{0.6cm}



\item {\Large {\bf Calculer une matrice}}


		     \vspace{0.4cm}



On consid\`ere 
la matrice $(3,2)$, not\'ee $A$, et d\'efinie par $A_{ij} \, = \, mi-j$, 
et la matrice

$$B= \left [
\begin {array} {cc}
 2~~&-3\\
 m-3~~&5\\
\end{array}
\right ].
$$

Dessiner $A$ et calculer, quand c'est possible,
 les sommes $A+B$ et $B+A$, les produits $AB$ et $BA$ 
et les inverses de $A$ et $B$.
  

		     \vspace{0.6cm}


\item {\Large {\bf Calculer un noyau, une image, un inverse}}


		     \vspace{0.4cm}


a) Calculer la matrice, l'image, le noyau et s'il y a lieu l'inverse de l'application
lin\'eaire 

$$(x,y,z) \mapsto (x+y-2z, ~2x+y+z, ~x+3z).$$

b) M\^eme chose pour 

$$(x,y,z) \mapsto (mx+y-2z, ~2x+my+z, ~x+3z).$$
		     \vspace{0.6cm}



\item \hfill {\Large {\bf E-T}}


Trouver (dans les livres ?) deux d\'efinitions formelles de "$f$ est lin\'eaire"
(pour $f: \rr^2 \rar \rr^3$ par exemple) et prouver qu'elles sont \'equivalentes.


		     \vspace{0.4cm}

\end{enumerate}
\end{document}