\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{\mathop{\rm et }} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Rea}{\mathop{\rm Re }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arcsin}{\mathop{\rm Arcsin }} \newcommand{\Arccos}{\mathop{\rm Arccos }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }} \newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }} \newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch }} \newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh }} \newcommand{\thy}{\mathop{\rm th }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} Maths Exos6~{\Huge {\bf ~D\'eveloppements limit\'es }} \hfill 18/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ % \vspace{0.5cm} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item {\Large {\bf D\'emontrer l'existence d'un d\'eveloppement limit\'e}} \vspace{0.5cm} a) Compl\'eter la r\'eponse suivante, puis \'ecrire les $DL_2$ des $f_i$ qu'il faut utiliser pour calculer le $DL_2$ de $f$ en $1$. {\bf Question} Expliquer pourquoi la fonction $f:=x \mapsto |\ln (x \sqrt 5 +\sqrt{x^2-5x+6})-8|$ admet un $DL_\infty$ en $1$: {\bf R\'eponse} Cette fonction est de la forme $f_0 \circ f_1 \circ (f_2 + f_3 \circ f_4)$ avec $f_0 = ..............., ~~~\\ f_1 = ..............., ~~~ f_ 2= ..............., ~~~ f_ 3= ..............., ~~~ f_ 4= ...............$. Les fonctions $f_2$ et $f_4$ sont des ............... et donc admettent un $DL_\infty$ en $1$. La fonction $f_3$ admet un $DL_\infty$ en $f_{4}(1)$ qui vaut ............... et qui est donc bien ...................... La fonction $f_1$ admet un $DL_\infty$ en ............. qui vaut ................. et qui est donc bien ....................... Enfin la fonction $f_0$ admet un $DL_\infty$ en ................. qui vaut .......... et qui est donc bien ....................... Le th\'eor\`eme de combinaison des $DL$ assure que $f$ admet un $DL_\infty$ en $1$. \vspace{0.5cm} b) Expliquer o\`u et pourquoi les fonctions suivantes admettent un $DL_\infty$: $x \mapsto |x^3-6x^2|-|11x-6|, ~~~x \mapsto \frac {|x-1|}{\sqrt{x}-2},$ ~~~ $x \mapsto |x|^\frac{1}{3}$, ~~~ $x \mapsto \frac{x}{|\ln ~x|}$, ~~~$x \mapsto \cos \sqrt {-x}$, ~~~ $x \mapsto \Arcsin |x^2-1|$, ~~~ $x \mapsto x+\frac {1}{\sqrt {e^{-x}- x^2}}$ , ~~~ $x \mapsto \Arccos |2x^2-1|$. \vspace{0.5cm} c) Ecrire les $DL_2$ utiles pour calculer les $DL_2$ suivants \begin {tabular}{llllll} en $0$ &\`a l'ordre $3$ &de la fonction $e^{\cos x};$ &en $\dfrac{\pi}{2}$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $e^x\cos x$;\\ en $2$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$ &en $1$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $\dfrac {\ln x}{1+x^2+x^4}$\\ \end {tabular} \vspace{0.5cm} \item {\Large {\bf Calculer un d\'eveloppement limit\'e}} \vspace{0.4cm} %\vspace{0.2cm} Calculer le d\'eveloppement limit\'e: \begin {tabular}{llllll} en $0$ &\`a l'ordre $3$ &de la fonction $e^x{\cos 2x}-x^2;$ &en $\dfrac{\pi}{2}$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $e^x\cos x$;\\ en $2$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$ &en $1$ &\`a l'ordre $2$ &de la fonction $\dfrac {\ln x}{1+x^2+x^4}.$\\ \end {tabular} \vspace{0.5cm} \item{\Large {\bf Calculer des limites et des signes}} \vspace{0.4cm} Soit $f$ d\'efinie sur $]-\pi/2,\pi/2[-\{0\}$ par $f(x)=\dfrac{e^{\sqrt{1+\sin x}} - e}{\tan x}$.\\ \vspace{0.2cm} Calculer le d\'eveloppement limit\'e d'ordre 3 en 0 de $e^{\sqrt{1+\sin x}} - e$. Montrer que $f(x)$ admet une limite $\ell$ quand $x$ tend vers 0. On pose $f(0)=\ell$; montrer que la fonction $f$ ainsi \'etendue est d\'erivable en 0 et pr\'eciser la position du graphe de $f$ par rapport \`a sa tangente en 0. \end{enumerate} \end{document} \newpage \vspace{-0.2cm} \vspace{0.5cm} \item{\Large {\bf Compl\'eter une preuve}} Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e de la somme est la somme des d\'eveloppements limit\'es. Preuve. Soit donc $I$ un intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, $a$ un point de $I$, et $n$ un entier ~ naturel. On suppose que $f$ et $g$ sont deux fonctions d\'efinies sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant pour ~ d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ respectivement le polyn\^ome $P$ et le polyn\^ome $Q$ (qui sont donc ~ de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Il nous faut montrer que la fonction $f+g$ admet pour d\'eveloppement ~ limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $P+Q.$ Nos hypoth\`eses signifient que le quotient $\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$ ~ tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~, de m\^eme que $\epsilon "(x):=$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~. ~ Ce qu'il nous faut prouver est que le quotient $\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans les m\^emes ~ conditions, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite ~~~~~~~~~~~~~~~~~~, car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ ~ est la somme de ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~. \vspace{0.5cm} \item \hfill {\Large {\bf E-T}} Existe-t-il une fonction $f$ d\'erivable sur $\rr$ dont le $DL_2$ en $a$ est, pour tout $a$, de la forme suivante:\\ $c+d(x-a);$ ~~~~$c+d(x-a)^2;$ ~~~~ $c+2(x-a)+d(x-a)^2; $ ~~~~ $c+d(x-a)+\pi(x-a)^2$. \end{enumerate} \end{document} %\vspace{0.6cm} \begin{center}{\bf Rab et r\'evisions} \end{center} %\vspace{0.6cm} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Calculer la fonction r\'eciproque de la fonction $f$ d\'efinie sur $[-1, 0]$ par $f(x)=2 -\sqrt{1-x^2}$. \item Majorer grossi\`erement $\frac{e^{9\Arccos x}}{e^{9\Arctg x}}$ pour $x$ entre $0$ et $1$. \item Etudier la continuit\'e de la fonction $f$ qui vaut $1$ sur les rationnels et z\'ero sur les irrationnels. Soit $g$ une fonction continue sur $\rr$. Etudier la continuit\'e de $f+g$ et de $fg$. \end{enumerate} \end{document}