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Expliquer o\`u et pourquoi la fonction $x \mapsto |\ln (x \sqrt 5 + \sqrt{x^2-5x+6})|$ est continue: ~ Cette fonction est de la forme $f_0 \circ f_1 \circ (f_2 + f_3 \circ f_4)$ avec $f_0 = ..............., f_1 = ..............., f_ 2= ..............., f_ 3= ..............., f_ 4= ...............$. C'est donc une combinaison de fonctions usuelles continues et par cons\'equent elle est continue sur son domaine de d\'efinition, qui est la r\'eunion de ................... avec ...................... b) Expliquer o\`u et pourquoi les fonctions suivantes sont continues: \hfill $x \mapsto |x^3-6x^2|-|11x-6|$ $x \mapsto \frac {|x-1|}{\sqrt{x}-2},$ ~~~ $x \mapsto |x|^\frac{1}{3}$, ~~~ $x \mapsto \frac{x}{|\ln ~x|}$, ~~~$x \mapsto \cos \sqrt {-x}$, ~~~ $x \mapsto \Arcsin |x^2-1|$, ~~~ $x \mapsto x+\frac {1}{\sqrt {e^{-x}- x^2}}$ , ~~~ $x \mapsto \Arccos |2x^2-1|$. \vspace{0.6cm} \item{\Large {\bf Reconna\^{\i}tre une discontinuit\'e}} \vspace{0.4cm} a) Compl\'eter les r\'eponses suivantes et citer les ressources utilis\'ees pour conclure. i) Montrer que la fonction $f$ qui vaut $0$ sur $]-\infty, 0[$ et $1$ sur $[0, + \infty[$ est discontinue en $0$. La limite de $f(x)$ pour $x$ tendant vers $0$ par valeurs n\'egatives vaut ....... et par cons\'equent diff\`ere de ........... qui vaut $1$. Il s'ensuit que $f$ est discontinue (\`a gauche) en $0$ . ii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \dfrac{1}{x}\, \si \,x \neq 0 \,\et \,0 \,\sinon\,$ est discontinue en $0$. La limite de $f(x)$ pour $x$ tendant vers $0$ par valeurs positives vaut ....... et par cons\'equent $f$ est discontinue (\`a droite) en $0$ . iii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \cos \dfrac{1}{x}$ n'a pas de prolongement continu en $0$. On consid\`ere les suites $u:= n \mapsto \dfrac{1}{2n \pi}$ et $v:= n \mapsto \dfrac{1}{(2n+1) \pi}$ qui tendent toutes les deux vers ....... La limite de $f(u_n)$ est ........ tandis que celle de $f(v_n)$ est ......... Il s'ensuit que $f$ n'a pas de prolongement continu en $0$. b) i) Montrer que la fonction $f := x \mapsto x E(x)$ est discontinue en $1$. ii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \cos x \ln x \si \,x > 0 \,\et \,0 \,\sinon\,$ est discontinue. iii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= e^x\sin \dfrac{1}{x}$ n'a pas de prolongement continu en $0$. \end{enumerate} \end{document} c) Existe-t-il une fonction d\'efinie sur $[-1, +1]$, continue en $0$ et valant, pour $x$ diff\'erent de $0$:\\ ~~~~~~~~$~~~~~~~~~~~~~~~x/\vert x \vert$;~~~~~~~~~~ ~~~~~ $\cos(1/x)$; ~~~~~~~~~~~~~~ $x\sin(1/x)$. d) Dessiner le graphe de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= {\bf\si} \,x \in \zz\, {\bf \alors} \,x \,{\bf\sinon }\,|x|\,$. \\O\`u est-elle discontinue? \vspace{0.6cm} \item{\Large {\bf Compl\'eter une preuve}} \vspace{0.4cm} Th\'eor\`eme: La somme de deux fonctions continues en un point est aussi continue en ce point. Preuve. Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I$, et continues en un point $a$ de $I$ et soit $n \mapsto u_n$ une suite de nombres de $I$ tendant vers $a$. Nous devons montrer que la suite $n\mapsto ~~~~~~~~~~~~~~~~~$ converge vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. Cette suite est \'egale \`a la somme de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~$ et de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ qui, d'apr\`es l'hypoth\`ese, convergent vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. En appliquant le th\'eor\`eme sur la limite d'une somme de suites, on obtient que notre suite converge vers $~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~$. Il ne reste qu'\`a observer que ce nombre est bien \'egal \`a $~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~$. \vspace{0.6cm} \item {\Large {\bf Rab et r\'evisions}} \vspace{0.3cm} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Trouver un r\'eel $M$ v\'erifiant $|\frac{\tg x}{\ch x}| \leq M$ pour $|x| < 1$. \item Calculer $\Arcsin \sin 8$. \item D\'eterminer $\alpha$ pour que la fonction d\'efinie par $f(x)=x+1$ si $x\leq 1$, $f(x)=3-\alpha x^2$ si $x>1$ soit continue. Dans ce cas, la fonction est-elle d\'erivable? \item Etudier la continuit\'e de la fonction "partie enti\`ere", not\'ee $E$, d\'efinie sur $\rr$ et caract\'eris\'ee par: $E$ est nulle sur $[0,1[$ et pour tout $x$ r\'eel, $f(x+1)$ \'egale $f(x)+1$. \item Soit $h$ une fonction continue sur $[0,1]$. A quelle condition existe-t-il une fonction $f$ prolongeant $h$ \`a $\rr$ tout entier et v\'erifiant, pour tout $x$ r\'eel, $f(x+1)=f(x)+1$ (resp. $f(x+1)=2f(x)$)? \item Trouver un r\'eel $M$ v\'erifiant $|\frac{\tg x}{\ch x}| \leq M$ pour $|x| < 1$. \item Calculer $\Arcsin \sin 8$. \item Discuter suivant les valeurs de $m$ le nombre de solutions de l'\'equation $x^3 +x^2-x=m$. \item Les fonctions $\sqrt {3x+ \sqrt {2x+1}}$ et $\sqrt{2x+ \sqrt {5x+1}}$ sont-elles comparables sur $[\frac{1}{2}, 1000]$? \end{enumerate}\end{enumerate} \end{document}