\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{\mathop{\rm et }} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Rea}{\mathop{\rm Re }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arcsin}{\mathop{\rm Arcsin }} \newcommand{\Arccos}{\mathop{\rm Arccos }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\Arctan}{\mathop{\rm Arctan }} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }} \newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} Maths Exos4~~~{\Huge {\bf ~Fonctions r\'eciproques }} \hfill 21/10/02 ~TC\\ % \vspace{0.6cm} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item {\Large {\bf Calculer une fonction r\'eciproque}} a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis rectifier les erreurs \'eventuelles dans la r\'eponse suivante. Enfin donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de justification qui vous para\^{\i}t le plus important. {\bf Question:} Soit $f:= x\longmapsto(x+1)\sqrt{x+1} +2.$ Calculer le domaine de d\'efinition, l'image et la d\'eriv\'ee de $f$. Montrer que $f$ admet une r\'eciproque $f^{-1}$, calculer cette r\'eciproque et sa d\'eriv\'ee. {\bf R\'eponse:} Pour $x$ r\'eel quelconque, on a $f(x)\neq \bot \ssi (x+1)\sqrt{x+1} \neq \bot \ssi \sqrt{x+1} \neq \bot \ssi x+1 > 0.$ Le domaine de d\'efinition de $f$ est donc l'intervalle $[-1, \, + \infty[$. Elle est strictement croissante sur cet intervalle en vertu des r\'esultats concernant le sens de variation des sommes et produits. Comme elle est d\'erivable et que sa limite en $+\infty$ est $+\infty$, son image est l'intervalle $[2, \, + \infty[$. La d\'eriv\'ee de $f$ sur $[-1, \, + \infty[$ est donn\'ee par la formule $f'(x)= \frac {3}{2}\sqrt{x+1} $ qui est bien strictement positive \`a part en $0$. Le th\'eor\`eme d'inversion assure que $f$ admet une fonction r\' eciproque d\'efinie sur l'intervalle $[-1, \, + \infty[$ qui est strictement croissante. Pour calculer sa valeur en $y \ge 2$, on r\'esout l'\' equation $f(x)=y$ \`a l'inconnue $x \in [-1, \, + \infty[$. On a $(x+1)\sqrt{x+1} +2=y \ssi (x+1)\sqrt{x+1} = y-2 \ssi (x+1) = (y-2)^ {\frac {2}{3} } \ssi x = (y-2)^ {\frac {2}{3} } -1$. La fonction r\'eciproque est donc d\'efinie pour $y \ge 2$ par $f^{-1}(y)= (y-2)^ {\frac {2}{3} } -1$. Elle est donc d\'erivable sur $]2, \, + \infty[$, avec pour $y > 2$, $(f^{-1})'(y)= \frac {2}{3}(y-2)^ {-\frac {1}{3} }$. b) Soit $f:=\,x\longmapsto x+\sqrt{x+1}.$ Calculer le domaine de d\'efinition, l'image et la d\'eriv\'ee de $f$. Montrer que $f$ admet une r\'eciproque $f^{-1}$ puis calculer cette r\'eciproque et sa d\'eriv\'ee. \vspace{0.6cm} \item{\Large {\bf Calculer la d\'eriv\'ee d'une fonction r\'eciproque}} a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis rectifier les erreurs \'eventuelles dans la r\'eponse suivante. Enfin donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de justification qui vous para\^{\i}t le plus important. {\bf Question:} Quelles sont les domaines de d\'efinition des fonctions inverses de la fonction \\ $f=x \mapsto x^3-3x +1$? Quelles sont les valeurs et les d\'eriv\'ees de ces fonctions en $y=1$? {\bf R\'eponse:} Le tableau de variation de $f$ fait appara\^ \i tre trois intervalles maximaux de stricte monotonie qui sont $]- \infty, \, -2[$, $]- 2, \, +2[$ et $]+2, \, + \infty[$, d'images respectives $]- \infty, \, 2[$, $]- 2, \, +2[$ et $]-2, \, + \infty[$. La valeur $1$ est prise respectivement en $-3, \, 0$ et $3$, qui sont donc les valeurs prises en $1$ par les trois fonctions r\'eciproques. La d\'eriv\'ee de $f$ en ces trois points vaut respectivement $2, \, -3$ et $2$, ce qui fait que la d\'eriv\'ee en $1$ de ses fonctions r\'eciproques vaut respectivement $\frac {1}{2}, \, -\frac {1}{3}$ et $\frac {1}{2}$. b) Quelles sont les domaines de d\'efinition des fonctions inverses de la fonction $f:=x \mapsto x^3-3x^2 +1$? Dessiner les graphes de toutes ces fonctions. Quelles sont les valeurs et les d\'eriv\'ees de ces fonctions en $y=-1$? \newpage \item{\Large {\bf Calculer un d\'efaut de r\'eciprocit\'e}} a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis rectifier les erreurs \'eventuelles dans la r\'eponse suivante et donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de justification qui vous para\^{\i}t le plus important. {\bf Question:} Calculer $\Arcsin (\sin \frac{25}{2})$. {\bf R\'eponse:} On a $4\pi \le \frac{25}{2} \le 5\pi$, donc $\sin(\frac{25}{2})= \sin(\frac{25}{2})-4\pi$ avec $0 \le \frac{25}{2}-4\pi \le \pi$. Donc $\Arcsin (\sin \frac{25}{2})=\sin(\frac{25}{2})-4\pi.$ b) Calculer $\Arcsin (\sin 22/7)$, $\Arccos (\cos 22/7)$, $\Arctan (\tan 22/7)$ et $\Arcsin (\cos 22/7)$. \vspace{0.6cm} \item{\Large {\bf Petit rab}} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Calculer $f^{-1} (1)$ et $(f^{-1})' (1)$ pour $f:= x \mapsto x+\frac{1}{x^2+1}$. \item Calculer la r\'eciproque de $x \mapsto e^{x^3+1}$. \end{enumerate} \vspace{0.6cm} \item \hfill{\Large {\bf E-T}} \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $x^3+mx +1$ admet-elle une fonction r\'eciproque sur $\rr$? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction r\'eciproque est-elle d\'erivable? Calculer sa d\'eriv\'ee en $0$ ou en $1$. Expliquer votre choix. \item Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]1,+\infty[$ par $$f(x)=mx^3+3x +m$$ admet-elle une fonction r\'eciproque? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction r\'eciproque est-elle d\'erivable? Pour $1