Conférence André Galligo

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11:00 - 11:30	Pause Café / Coffee Break
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Résumés

Abstracts

Efficient simulations for the long-term behavior of self-gravitating systems ?

Des simulations efficaces pour le comportement en temps long des systèmes auto-gravitants ?

Barré, Julien (Université Orléans Tours)

A globular cluster contains approximately $10^6$ stars, and a galaxy around $10^{11}$. Simulating the evolution of such self-gravitating systems over long timescales is computationally expensive. I will present a method using stochastic differential equations that reproduces not only the mean behavior of the stellar population but also the finite-size fluctuations of the system. Comparisons between this method and direct numerical simulations of the problem in simple cases confirm its potential.

This is joint work with Anwar El Rhirayi (University of Orléans and Institut d'Astrophysique de Paris) and Jean-Baptiste Fouvry (Institut d'Astrophysique de Paris).

Un amas globulaire contient environ $10^6$ étoiles, une galaxie environ $10^{11}$. Simuler l'évolution de tels systèmes auto-gravitants sur des temps longs est très coûteux. Je présenterai une méthode utilisant des équations différentielles stochastiques qui permet de reproduire non seulement le comportement moyen de la population d'étoiles, mais aussi les fluctuations de taille finie du système. Les comparaisons entre cette méthode et des simulations numériques directes du problème dans des cas simples confirment son potentiel.

C'est un travail en collaboration avec Anwar El Rhirayi (Université d'Orléans et Institut d'Astrophysique de Paris) et Jean-Baptiste Fouvry (Institut d'Astrophysique de Paris).

Homogeneous border bases on infinite order ideals

Bases de bord homogènes sur des idéaux d'ordre infini

Bertone, Cristina (Università di Torino)

Since their first appearances in the 90s, border bases over a finite order ideal have garnered the interest of mathematicians due to their several features, e.g. numerical stability and feasibility of polynomial reductions. The use of classical border bases is unfortunately confined to (non-homogeneous) ideals of Krull dimension 0 in the polynomial ring $\mathbb K[x_1,\dots,x_n]$, given that they are defined relative to an order ideal of finite cardinality.

Our goal is to give a generalization of the notion of border basis to a homogeneous setting, preserving the algebraic structure that allows explicit computations, starting from an infinite order ideal. The homogeneous border bases we define and characterize generate homogeneous ideals in $\mathbb K[x_0,\dots,x_n]$ with positive Krull dimension. This is a joint work with Sofia Bovero (Università di Torino, Italy).

Depuis leurs premières apparitions dans les années 90, les bases de bord sur un idéal d'ordre fini ont suscité l'intérêt des mathématiciens en raison de leurs nombreuses caractéristiques, par exemple la stabilité numérique et la faisabilité des réductions polynomiales. L'utilisation des bases de bord classiques est malheureusement confinée aux idéaux (non homogènes) de dimension de Krull 0 dans l'anneau de polynômes $\mathbb K[x_1,\dots,x_n]$, étant donné qu'elles sont définies par rapport à un idéal d'ordre de cardinalité finie.

Notre objectif est de donner une généralisation de la notion de base de bord à un cadre homogène, en préservant la structure algébrique qui permet des calculs explicites, à partir d'un idéal d'ordre infini. Les bases de bord homogènes que nous définissons et caractérisons génèrent des idéaux homogènes dans $\mathbb K[x_0,\dots,x_n]$ avec une dimension de Krull positive. Il s'agit d'un travail conjoint avec Sofia Bovero (Università di Torino, Italie).

How to share a cake?

Comment partager un gâteau ?

Chèze, Guillaume (Université Toulouse 3)

Imagine having to share a birthday cake among several guests with different tastes. Such a situation raises the following questions: How to achieve a fair division? How to avoid jealousy among the guests? How to implement such a division before your guests go home? We will explore some answers to these questions. This will lead us to discuss algorithms, complexity, and probability measures.

Imaginez que vous deviez partager un gâteau d'anniversaire entre plusieurs convives ayant des goûts différents. Une telle situation amène alors les questions suivantes : Comment obtenir un partage équitable ? Comment éviter la jalousie entre les convives ? Comment réaliser un tel partage avant que vos invités ne rentrent chez eux ? Nous verrons quelques éléments de réponse à ces questions. Cela nous conduira à parler d'algorithmes, de complexité et de mesures de probabilité.

On the Effective Pourchet's Theorem

Sur le théorème de Pourchet effectif

D'Andrea, Carlos (Universitat de Barcelona)

It has been proven by Y. Pourchet in 1971 that any positive univariate polynomial with rational coefficients can be expressed as a sum of up to five squares of polynomials in $\mathcal Q[x]$, and that the number five is optimal in the sense that there are positive polynomials which cannot be written as a sum of four or less squares.

In 2023 an algorithm was proposed by Koprowski, Magron, and Vaccon with a conjecture that it may always produce an optimal decomposition as a sum of five squares. In this presentation, we will review the problem and its algorithmic approach, and show that the aforementioned conjecture is not correct. We also explore further generalizations of this approach.

This is joint work with Teresa Cortadellas, Ana de Felipe, Joel Hurtado, and Eulalia Montoro.

Y. Pourchet a démontré en 1971 que tout polynôme univarié positif à coefficients rationnels peut être exprimé comme une somme d'au plus cinq carrés de polynômes dans $\mathbb{Q}[x]$, et que le nombre cinq est optimal, au sens où il existe des polynômes positifs qui ne peuvent pas s'écrire comme une somme de quatre carrés ou moins.

En 2023, Koprowski, Magron et Vaccon ont proposé un algorithme, accompagné d'une conjecture selon laquelle celui-ci produirait toujours une décomposition optimale en une somme de cinq carrés. Dans cette présentation, nous passerons en revue le problème et son approche algorithmique, et nous montrerons que la conjecture susmentionnée est fausse. Nous explorerons également de plus amples généralisations de cette approche.

Il s'agit d'un travail conjoint avec Teresa Cortadellas, Ana de Felipe, Joel Hurtado et Eulalia Montoro.

On the asymptotic expansions of integral solutions of irregular GKZ systems

Sur les développements asymptotiques de solutions intégrales de systèmes GKZ irréguliers.

Granger, Michel (Univ. Angers)

The starting point of this work is the computation of the irregularity perverse sheaf of irregular holonomic differential systems of the type indicated in the title. Perverse sheaves were the subject of a collaboration with A. Galligo in the year preceding my departure from Nice to Angers.

GKZ systems are a vast generalization of the Gauss hypergeometric function, due to Gelfand and his collaborators. Adolphson's work has shown that these systems naturally admit integral solutions and are holonomic, including in the irregular case. The formal solutions along appropriate coordinate hyperplanes are known, and we seek to determine if and when these solutions are asymptotic expansions of the integral solutions.

We will illustrate the problem in the case where the integration paths are one-dimensional using very explicit methods. Next, our goal is to provide a complete answer for so-called single-slope systems. We first treated the specific case where one-dimensional computations generalize quite easily, and we will give indications regarding the method employed: the choice of an adapted unbounded cycle and the deformation of this cycle.

In ongoing work, we treat the much more delicate general case where direct methods do not apply. In the remaining time, we will indicate the two ingredients necessary to succeed: a system of difference equations and a reduction of the problem to that of the solutions of an ODE of type $P(x \partial_x) - yQ(x \partial_x)$.

Le point de départ de ce travail est le calcul du faisceaux pervers d'irrégularité de systèmes différentiels holonomes irréguliers du type indiqué dans le titre. Les faisceaux pervers, furent l'objet d'une collaboration avec A. Galligo dans l'année qui a précédé mon départ de Nice à Angers.

Les systèmes GKZ sont une vaste généralisation due à Gelfand et ses collaborateurs de la fonction hypergéométrique de Gauss. Les travaux d'Adolphson ont montré que ces systèmes admettent de façon naturelle des solutions intégrales et sont holonomes y compris dans le cas irrégulier. Les solutions formelles le long d'hyperplans de coordonnées appropriés sont connus et nous cherchons à savoir si et quand ces solutions sont des développements asymptotiques des solutions intégrales.

Nous illustrerons le problème dans le cas où les chemins d'intégration sont de dimension un par des méthodes très explicites. Ensuite, notre but est de donner une réponse complète pour les systèmes dits à une seule pente. Nous avons traités d'abord le cas particulier où les calculs unidimensionels se généralisent assez aisément, et nous donnerons des indications sur la méthode employée : choix d'un cycle non borné adapté et déformation de ce cycle.

Dans un travail en cours nous traitons le cas général beaucoup plus délicat où les méthodes directes ne s'appliquent pas. Dans le temps qui nous restera nous indiquerons les deux ingrédients nécessaires pour aboutir : un système d'équations aux différences et une réduction le problème a celui des solutions d'une EDO de type $P(x\partial_x)- yQ(x\partial_x)$.

Real numbers in effective algebra

Les nombres réels en algèbre effective

Lombardi, Henri (Université de Franche-Comté)

Memories and Perspectives

Souvenirs et perspectives

On the zeros of iterated derivatives of polynomials and their randomizations

Sur les zéros des dérivées itérées de polynômes et leurs randomisations

Najnudel, Joseph (University of Bristol)

Limit theorems have been established concerning the distributions of the zeros of the $k$-th derivative of a polynomial of degree $n$, when $k$ is small compared to $n$ or when the ratio $k/n$ tends to a constant as $n$ tends to infinity. In this talk, we discuss some of these results, as well as analogous results obtained when differentiation is replaced by certain randomized versions related to the distribution of eigenvalues of unitarily invariant matrices.

Des théorèmes limites ont été établis concernant les distributions des zéros de la $k$-ième dérivée d’un polynôme de degré $n$, lorsque $k$ est petit par rapport à n ou lorsque le rapport $k/n$ tend vers une constante quand n tend vers l’infini. Dans cet exposé, nous discutons certains de ces résultats, ainsi que des résultats analogues obtenus lorsque la dérivation est remplacée par certaines versions randomisées liées à la distribution des valeurs propres de matrices unitairement invariantes.

Planar polypols, their adjoints and canonical forms

Les polypôles plans, leurs courbes adjointes et leurs formes canoniques

Piene, Ragni (University of Oslo)

Planar polypols – “polygons with curved sides” – were proposed by Eugene Wachspress as generalized algebraic finite elements. In order to define barycentric coordinates for polypols, he introduced the adjoint curve of a rational polypol. Physicists define positive geometries as certain semi-algebraic sets together with a meromorphic differential form called the canonical form. A rational regular polypol gives a positive geometry, and there is an explicit expression for its canonical form in terms of the adjoint and boundary curves of the polypol.

This talk is based on joint work with K. Kohn, K. Ranestad, F. Rydell, B. Shapiro, R. Sinn, M.-S. Sorea, and S. Telen.

Les polypôles plans — des « polygones à côtés courbes » — ont été proposés par Eugene Wachspress comme éléments finis algébriques généralisés. Afin de définir des coordonnées barycentriques pour les polypôles, il a introduit la courbe adjointe d'un polypôle rationnel. Les physiciens définissent les géométries positives comme certains ensembles semi-algébriques associés à une forme différentielle méromorphe appelée la forme canonique. Un polypôle régulier rationnel donne une géométrie positive, et il existe une expression explicite pour sa forme canonique en fonction de la courbe adjointe et des courbes frontières du polypôle.

Cet exposé s'appuie sur un travail conjoint avec K. Kohn, K. Ranestad, F. Rydell, B. Shapiro, R. Sinn, M.-S. Sorea et S. Telen.

Modeling the size dynamics of adipocytes

Modélisation de la dynamique en taille des adipocytes

Ribot, Magali (Université Orléans Tours)

In this talk, I will present several models to describe the size dynamics of an adipocyte population, namely the cells in adipose tissue used to store lipids in the human body. A remarkable phenomenon, common to all individuals, is that the distribution of adipocytes follows a bimodal law, consisting of two peaks: one around small adipocytes and the other around larger ones. We therefore propose several models, using partial differential equations or ordinary differential equations, to describe the time evolution of the adipocyte size distribution. Special attention will be paid to the stationary solutions of these systems, as these stationary solutions will be used to compare the models with available experimental data. This work was carried out in collaboration with Chloé Audebert, Maxime Breden, Aloïs Dauger, Louis Fostier, Anne-Sophie Giaccobi, Léo Meyer, Hédi Soula, Romain Yvinec.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs modèles pour décrire la dynamique en taille d’une population d’adipocytes, à savoir les cellules du tissu adipeux, qui servent à stocker les lipides dans le corps humain. Un phénomène remarquable, commun à tous les individus, est que la distribution des adipocytes suit une loi bimodale, formée de deux pics, un autour de petits adipocytes et l’autre autour d’adipocytes plus gros. Nous proposons donc plusieurs modèles, de type équations aux dérivées partielles ou équations différentielles, afin de décrire l’évolution au cours du temps de la distribution de la taille des adipocytes. Une attention particulière sera apportée aux solutions stationnaires de ces systèmes, car ces solutions stationnaires seront utilisées pour comparer les modèles avec les données expérimentales disponibles. Ce travail a été effectué en collaboration avec Chloé Audebert, Maxime Breden, Aloïs Dauger, Louis Fostier, Anne-Sophie Giaccobi, Léo Meyer, Hédi Soula, Romain Yvinec.

Kähler-Einstein toric submanifolds of the projective space

Sous-variétés toriques de Kähler-Einstein de l'espace projectif

Sombra, Martin (ICREA & Universitat de Barcelona)

After the seminal work of Calabi and Chern, it is conjectured that the Kähler-Einstein submanifolds of a projective space equipped with the Fubini-Study metric are homogeneous spaces. This conjecture has been proven for submanifolds of codimension at most 2, but is widely open in the general case. I will explain an approach aiming to prove this conjecture for toric manifolds of arbitrary codimension. This is joint work with Antonio Di Scala (Politecnico di Torino).

Après les travaux fondateurs de Calabi et Chern, il est conjecturé que les sous-variétés de Kähler-Einstein d'un espace projectif muni de la métrique de Fubini-Study sont des espaces homogènes. Cette conjecture a été prouvée pour les sous-variétés de codimension au plus 2, mais reste largement ouverte dans le cas général. J'expliquerai une approche visant à prouver cette conjecture pour les variétés toriques de codimension arbitraire. Il s'agit d'un travail conjoint avec Antonio Di Scala (Politecnico di Torino).

Computational algebraic geometry, applications to physics, and Macaulay 2

Géométrie algébrique computationnelle, applications à la physique et Macaulay 2

Stillman, Mike (Cornell University)

heoretical physics and string theory provide useful hard problems to solve involving polyhedra geometry, computational algebra and computational algebraic geometry. We describe some of these problems, some solutions, and several challenges and open problems for the computational algebra and algebraic geometry community. The work described here is based on joint work with Liam McAllister (Cornell; string theory and cosmology) and several other physicists.

La physique théorique et la théorie des cordes fournissent des problèmes difficiles et pertinents à résoudre qui font intervenir la géométrie polyédrale, l'algèbre computationnelle et la géométrie algébrique computationnelle. Nous décrivons certains de ces problèmes, quelques solutions, ainsi que plusieurs défis et problèmes ouverts pour la communauté de l'algèbre et de la géométrie algébrique computationnelles. Les travaux présentés ici s'appuient sur une collaboration avec Liam McAllister (Cornell ; théorie des cordes et cosmologie) et plusieurs autres physiciens.

The Jacobi-Peron algorithm and commutative algebra

Algorithme de Jacobi-Perron et algèbre commutative

Teissier, Bernard (Institut Mathématique de Jussieu-Paris Rive Gauche)

A generalization in commutative algebra of the Jacobi-Perron algorithm has consequences in valuation theory.

Une généralisation en algèbre commutative de l’algorithme de Jacobi-Perron a des conséquences en th\’eorie des valuations.

Faster convex-dense bivariate factorization

Factorisation bivariée convexe-dense plus rapide

Weimann, Martin (Université Caen Normandie)

I propose a new algorithm for factoring a bivariate polynomial $F\in \mathbb K[x, y]$ which takes fully advantage of the geometry of the Newton polygon of $F$ (volume and Ostrowski constraints). Under some non degeneracy hypothesis, the complexity is $\tilde{\mathcal{O}}(Vr_{0}^{\omega-1})$ where $V$ is the volume of the polygon and $r_0$ is its minimal lattice length, an easy-to-compute upper bound for the number of indecomposable Minkovski summands. The proof is based on a new fast factorization algorithm in $\mathbb K[[x]][y]$ with respect to an augmented valuation, a result which has its own interest.

Je propose un nouvel algorithme pour factoriser un polynôme bivarié $F\in \mathbb{K}[x, y]$ qui tire pleinement parti de la géométrie du polygone de Newton de $F$ (volume et contraintes d'Ostrowski). Sous certaines hypothèses de non-dégénérescence, la complexité est de $\tilde{\mathcal{O}}(Vr_{0}^{\omega-1})$ où $V$ est le volume du polygone et $r_0$ est sa longueur de réseau minimale, une borne supérieure facile à calculer pour le nombre de sommandes de Minkowski indécomposables. La preuve repose sur un nouvel algorithme de factorisation rapide dans $\mathbb{K}[[x]][y]$ par rapport à une valuation augmentée, un résultat qui présente un intérêt en soi.

Géométrie, Algorithmes et Aléatoire

Geometry, Algorithms, and Randomness

Conférence en l'honneur d'André Galligo (80 ans)

Conference in Honor of André Galligo (80th Birthday)

Présentation

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Scientific Committee

Comité d'organisation

Organizing Committee

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Confirmed Speakers

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