Un amas globulaire contient environ 10^6 étoiles, une galaxie environ 10^11. Simuler l'évolution de tels systèmes auto-gravitants sur des temps longs est très coûteux. Je présenterai une méthode utilisant des équations différentielles stochastiques qui permet de reproduire non seulement le comportement moyen de la population d'étoiles, mais aussi les fluctuations de taille finie du système. Les comparaisons entre cette méthode et des simulations numériques directes du problème dans des cas simples confirment son potentiel.

C'est un travail en collaboration avec Anwar El Rhirayi (Université d'Orléans et Institut d'Astrophysique de Paris) et Jean-Baptiste Fouvry (Institut d'Astrophysique de Paris).

Depuis leurs premières apparitions dans les années 90, les bases de bord sur un idéal d'ordre fini ont suscité l'intérêt des mathématiciens en raison de leurs nombreuses caractéristiques, par exemple la stabilité numérique et la faisabilité des réductions polynomiales. L'utilisation des bases de bord classiques est malheureusement confinée aux idéaux (non homogènes) de dimension de Krull 0 dans l'anneau de polynômes $\mathbb K[x_1,\dots,x_n]$, étant donné qu'elles sont définies par rapport à un idéal d'ordre de cardinalité finie.

Notre objectif est de donner une généralisation de la notion de base de bord à un cadre homogène, en préservant la structure algébrique qui permet des calculs explicites, à partir d'un idéal d'ordre infini. Les bases de bord homogènes que nous définissons et caractérisons génèrent des idéaux homogènes dans $\mathbb K[x_0,\dots,x_n]$ avec une dimension de Krull positive. Il s'agit d'un travail conjoint avec Sofia Bovero (Università di Torino, Italie).

Imaginez que vous deviez partager un gâteau d'anniversaire entre plusieurs convives ayant des goûts différents. Une telle situation amène alors les questions suivantes : Comment obtenir un partage équitable ? Comment éviter la jalousie entre les convives ? Comment réaliser un tel partage avant que vos invités ne rentrent chez eux ? Nous verrons quelques éléments de réponse à ces questions. Cela nous conduira à parler d'algorithmes, de complexité et de mesures de probabilité.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs modèles pour décrire la dynamique en taille d’une population d’adipocytes, à savoir les cellules du tissu adipeux, qui servent à stocker les lipides dans le corps humain. Un phénomène remarquable, commun à tous les individus, est que la distribution des adipocytes suit une loi bimodale, formée de deux pics, un autour de petits adipocytes et l’autre autour d’adipocytes plus gros. Nous proposons donc plusieurs modèles, de type équations aux dérivées partielles ou équations différentielles, afin de décrire l’évolution au cours du temps de la distribution de la taille des adipocytes. Une attention particulière sera apportée aux solutions stationnaires de ces systèmes, car ces solutions stationnaires seront utilisées pour comparer les modèles avec les données expérimentales disponibles. Ce travail a été effectué en collaboration avec Chloé Audebert, Maxime Breden, Aloïs Dauger, Louis Fostier, Anne-Sophie Giaccobi, Léo Meyer, Hédi Soula, Romain Yvinec.

Après les travaux fondateurs de Calabi et Chern, il est conjecturé que les sous-variétés de Kähler-Einstein d'un espace projectif muni de la métrique de Fubini-Study sont des espaces homogènes. Cette conjecture a été prouvée pour les sous-variétés de codimension au plus 2, mais reste largement ouverte dans le cas général. J'expliquerai une approche visant à prouver cette conjecture pour les variétés toriques de codimension arbitraire. Il s'agit d'un travail conjoint avec Antonio Di Scala (Politecnico di Torino).